Consigne: Soit \(A\) la matrice de \(M_3({\Bbb R})\) suivante : $$A=\begin{pmatrix}1&0&1\\ -1&2&1\\ 1&-1&1\end{pmatrix}$$ ses valeurs propres sont \(1\) (de multiplicité \(2\)) et \(2\) (de multiplicité \(1\))
De plus, son sous-espace propre pour \(\lambda=1\) est \(\operatorname{Vect}\begin{pmatrix}1\\ 1\\ 0\end{pmatrix}\) et celui pour \(\lambda=2\) est \(\operatorname{Vect}\begin{pmatrix}1\\ 0\\ 1\end{pmatrix}\)
Son sous-espace caractéristique pour \(\lambda=1\) est \(\operatorname{Vect}\left\{\begin{pmatrix}1\\ 1\\ 0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0\\ 0\\ 1\end{pmatrix}\right\}\)
Déterminer une base de \({\Bbb R}^3\) dans laquelle la matrice de l'endomorphisme associé à \(A\) est $$B=\begin{pmatrix}2&0&0\\ 0&1&1\\ 0&0&1\end{pmatrix}$$ en déduire la décomposition de Dunford de \(B\)
Nommer les vecteurs On pose \(u=\begin{pmatrix}1\\ 0\\ 1\end{pmatrix}\) et \(w=\begin{pmatrix}0\\ 0\\ 1\end{pmatrix}\)
On cherche \(v\) tel que \(Aw=v+w\) \(\Rightarrow\) \(v=\begin{pmatrix}1\\ 1\\ 0\end{pmatrix}\)
Donc on a \(Av=v\)
Construire \(P\) et en déduire \(P^{-1}AP\) (avec les propriétés des vecteurs) Si \(P=\begin{pmatrix}1&1&0\\ 0&1&0\\ 1&0&1\end{pmatrix}\), alors \(P^{-1}AP=\begin{pmatrix}2&0&0\\ 0&1&1\\ 0&0&1\end{pmatrix}\)
Dunford : somme des sous-espaces propres
La décomposition de Dunford de \(B\) est : $${\Bbb R}^3=\underbrace{\operatorname{Vect}\begin{pmatrix}1\\ 0\\ 1\end{pmatrix}}_{E_2}\oplus\underbrace{\operatorname{Vect}\left(\begin{pmatrix}1\\ 1\\ 0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0\\ 0\\ 1\end{pmatrix}\right)}_{E_1}$$